Математики Древней Греции внесли чрезвычайно значительный вклад в мировую мысль и все практические предметы, которые зависят от этой интеллектуальной основы, от геометрии до инженерии, астрономии до дизайна. Первоначально под влиянием египтян греческие математики стремились к таким прорывам, как теория прямоугольных треугольников Пифагора, и, сосредоточившись на абстрактном, вносили ясность и точность в вековые математические проблемы. Их решения обеспечили фундаментальные математические строительные блоки, на которых все будущие математики и ученые будут опираться вплоть до сегодняшнего дня.
Ранние Влияния
Рождение греческой математики обязано своим импульсом влиянию некоторых ее соседей, особенно Египта. Во времена 26-й династии Египта (около 685-525 гг. до н. э.) порты Нила были впервые открыты для греческой торговли, и важные греческие деятели, такие как Фалес и Пифагор, посетили Египет, принеся с собой новые навыки и знания. Иония, в дополнение к египетскому влиянию, была знакома с культурой и идеями Месопотамии через своего соседа, королевство Лидия.
Несколько столетий спустя, в эллинистический период, греческая астрономия процветала после того, как Александр Македонский завоевал Восток. Астрономические знания вавилонской и халдейской культуры стали доступны грекам, которые извлекали выгоду, систематически используя их. Это привело к развитию многих греческих математических инструментов, таких как использование системы счисления с 60 в качестве основы, что позволило грекам разделить круги на 360 градусов. Использование 60 в качестве основы математической системы не является второстепенной проблемой: 60 — это число, которое имеет много делителей (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60), что облегчает работу с вычислениями, включающими дроби.
Египетское влияние на греческую математику также можно заметить в этимологии ключевых греческих математических терминов. Страбон, знаменитый греческий географ, объясняет происхождение слова геометрия (что буквально означает «измерение земли») следующим образом:
Разлив Нила неоднократно уносит и добавляет почву, изменяя конфигурацию ландшафта и скрывая маркеры, которые отделяют землю одного человека от земли другого. Измерения приходится проводить снова и снова, и они говорят, что это начало геометрии. (Страбон, География 17.1.3)
Ранние Достижения
Как получилось, что грекам удалось развить свои математические знания до такой степени, что они стали превосходить египтян, цивилизацию намного более древнюю? Уже в 3500 году до н. э. египетские (а также вавилонские) расчеты были самыми точными в мире. Египтяне использовали свои математические знания в основном в инженерных целях; без них строительство великих пирамид и других захватывающих дух памятников было бы невозможно.
То, что греки извлекли из египетской математики, было в основном эмпирическими правилами с конкретными приложениями. Египтяне знали, например, что треугольник, стороны которого находятся в соотношении 3:4:5, является прямоугольным треугольником. Это было связано с тем, что для формирования прямых углов практичные египетские землемеры использовали веревку, разделенную на двенадцать равных частей, образуя треугольник с тремя частями на одной стороне, четырьмя частями на второй стороне и пятью частями на оставшейся стороне. Прямой угол должен был быть найден там, где сторона из трех блоков соединялась со стороной из четырех блоков. Это был очень практичный метод формирования прямых углов. Как египтяне придумали этот метод, не записано. У нас также нет египетских записей о дальнейшем анализе, связанном с этим вопросом. Египтяне были слишком практичны, чтобы заниматься детальным анализом этого; по-видимому, их интерес не шел дальше практического применения этого метода. Уроженец Греции из Ионии посмотрел на этот треугольник 3:4:5 и увидел в нем то, чего, казалось, никто другой не заметил. Его звали Пифагор, и он довел эту проблему треугольника 3:4:5 до логического предела, вызвав интеллектуальную революцию.
Пифагор (ок.571 — ок.497 до н. э.) был лидером и основателем своеобразного движения, последователи которого были известны как пифагорейцы. Члены этой школы были убеждены, что Вселенную можно описать в терминах целых чисел: 1, 2, 3, 4 и т.д. Основываясь на треугольнике 3:4:5, известном египтянам, Пифагор вывел математическую теорему, которая носит его имя: в прямоугольном треугольнике, когда площади квадратов, возведенных на двух меньших сторонах, были сложены вместе, они равнялись площади квадрата, возведенного на самой длинной стороне, стороне, противоположной прямому углу (гипотенуза). Важно отметить, что греки первоначально сформулировали эту теорему в терминах геометрических объектов, а не чисел.
Почему эта теорема была таким важным открытием? Потому что это показывает развитие некоторых важных техник.
- Тот техника абстрагирования , основанный на игнорировании физических соображений, которые рассматриваются как просто случайные. Была ли это веревка, кусок дерева или любой другой физический объект, не имело значения. Все дело было в свойствах «прямых линий», соединяющихся под углами, не более того. Эти линии — просто ментальные конструкции и единственная сущность, необходимая для решения проблемы. Процесс абстракции заключается в том, чтобы избавиться от всех несущественных элементов и рассмотреть только то, что является фундаментальным.
- Техника обобщения , который заключается в разработке общих принципов с широким применением, а не правил с конкретным использованием. Теорема, разработанная Пифагором, была верна не только для треугольника 3:4:5, но это был принцип, применимый к любому другому прямоугольному треугольнику, независимо от его размеров. Кроме того, теорема показала, что треугольник является прямоугольным треугольником тогда и только тогда, когда квадрат самой длинной стороны совпадает с суммой квадратов оставшихся двух сторон: прямой угол лежит там, где встречаются две более короткие стороны.
- Искусство дедуктивного рассуждения .Речь идет о том, чтобы иметь набор начальных общих утверждений или предпосылок и делать выводы, разрабатывая их логические следствия.
- Математика в смысле демонстративные дедуктивные аргументы .Сочетая дедуктивные рассуждения и обобщения, математика больше не рассматривалась как статический набор правил, а скорее как динамическая система, способная к сложному развитию.
Мы обязаны Пифагору или, может быть, его последователям этими важными греческими инновациями в области математики.
Красота и гармония, которые пифагорейцы находили в математике, были настолько сильны, что греческая наука в целом в конечном счете была заражена сильным математическим уклоном. Другими словами, греки пришли к убеждению, что дедуктивное мышление, которое было невероятно успешным в математике, также было единственным приемлемым способом получения знаний в любой другой дисциплине. Наблюдение было недооценено, дедукция была сделана королем, и греческое научное знание зашло в тупик практически во всех отраслях, кроме точных наук. Эту переоценку математики можно увидеть в цитате из Галена:
В то время как время вызывает изменение и прекращение горя и других эмоций, когда простое течение времени когда-либо убеждало кого-либо в том, что ему достаточно «дважды два четыре» или «все радиусы круга равны», и заставляло его изменить свое мнение о таких убеждениях и отказаться от них? (Гален, Об учениях Гиппократа и Платон 4.7.43)
Первый математический кризис: Квадратный корень из 2
После того, как была установлена теорема Пифагора, был поставлен следующий вопрос: если бы у нас был квадрат с каждой стороной в единицу длины, и у нас также был второй квадрат с удвоенной площадью первого квадрата, как бы сторона второго квадрата сравнивалась со стороной первого квадрата? Таково происхождение вопроса о квадратном корне из 2.
Сегодня мы знаем, что квадратный корень из 2 является иррациональным числом, а это значит, что оно не может быть выражено какой-либо простой дробью. Однако греки не знали об этом, поэтому они продолжали пытаться разгадать эту загадку и найти правильный ответ. Как бы они ни старались, пифагорейцы не могли решить эту головоломку, и в конце концов они столкнулись с реальностью, что никакое соотношение двух целых чисел не может выразить значение квадратного корня из 2.
Секрет иррациональных чисел тщательно хранился пифагорейцами. Причина этого в том, что тайна создала своего рода кризис в самых корнях пифагорейских верований. Существует интересный рассказ (его историческая достоверность не установлена) об одном члене пифагорейского круга, который, по-видимому, раскрыл секрет кому-то за пределами братства. Предателя бросили в глубокие воды и утопили. Этот эпизод иногда называют первым мучеником науки. Однако мы также могли бы думать об этом человеке как об одном из многих мучеников суеверий, поскольку не научный аспект иррациональных чисел был основной причиной этого убийства, а скорее его религиозные экстраполяции, которые рассматривались как угроза основам пифагорейского мистицизма.
Кризис иррациональных чисел способствовал созданию хитроумных методов аппроксимации значения квадратного корня из 2. Одним из лучших примеров этого является метод, описанный на следующей диаграмме:
После многих неудачных попыток найти значение квадратного корня из 2 у греков не было другого выбора, кроме как признать, что арифметика не может быть основой математики. Им нужно было искать что-то другое, поэтому они занялись геометрией.
Евклидова система
Евклид (ок. 325 — ок.265 до н. э.) был древнегреческим математиком, жившим в Александрии. Он был знаком со всеми предшествовавшими ему греческими математическими работами, поэтому решил объединить все эти знания в единую последовательную работу. Эта работа дошла до нас, известная как Элементы , и является второй самой продаваемой книгой всех времен, превзойденной только Библией.
Элементы запоминается в основном своей геометрией. Открытие книги I начинается с различных определений базовой геометрии:
1. Точка — это то, что не имеет части.
2. Линия — это длина без ширины.
3. Конечности линии — это точки.
4. Прямая линия — это линия, которая лежит равномерно с точками на себе.
5. Поверхность — это то, что имеет только длину и ширину.
6. Края поверхности — это линии.(Евклид, определения 1-6)
В содержании Евклида нет ничего оригинального Элементы (он был просто компилятором). Однако порядок предложений и общая логическая структура работы в значительной степени являются творением Евклида. Это, без сомнения, одна из самых важных и влиятельных книг, когда-либо написанных, и шедевр греческой интеллектуальной традиции.
С точки зрения современного научного знания, Элементы имеет некоторые недостатки. Во-первых, он опирается исключительно на дедукцию (построение выводов на предполагаемом наборе самоочевидных обобщений), в нем нет и следа индукции (начиная с наблюдений за конкретными фактами и выводя из них обобщения). Во-вторых, он следует логической последовательности, с помощью которой все теоремы в нем могут быть доказаны с помощью ранее доказанных теорем. Эта логическая последовательность приводит нас к набору исходных предположений, которые не могут быть доказаны. Эти предположения представлены Евклидом как неоспоримые, а это значит, что они настолько очевидны, что никаких доказательств не требуется. Аналогией этой структуры была бы цепочка, в которой каждое звено должно быть соединено с другим звеном, но начальные звенья просто висят, нигде не соединяясь.
Делийская проблема
В дополнение к значению квадратного корня из 2 существовала еще одна известная проблема, которая занимала греков: дублирование куба. Легенда гласит, что:
Оракул Аполлона сказал жителям Дельфоса, что, чтобы освободиться от чумы, они должны построить ему алтарь вдвое больше существующего. (Теон из Смирны, О пользе математики в Маккауне)
Архитекторы понятия не имели, как это решить. Алтарь имел форму куба, и первая идея, которая может прийти в голову, — это просто удвоить все стороны алтаря, но это приведет к алтарю в восемь раз больше оригинала, а не в два раза больше. Правильный способ подойти к этой проблеме — спросить: какой длины должна быть каждая из сторон нового алтаря, если мы хотим сделать объем вдвое больше объема первоначального алтаря? Речь идет об определении значения кубического корня из 2, которое также является иррациональным числом. Эта проблема вызвала в геометрии то же недоумение, что и квадратный корень из 2, вызванный в арифметике.
Греческие математики, включая Платона, занялись этим вопросом и работали над ним в течение столетий, проделав большой объем замечательной работы. Главная проблема здесь заключается в том, чтобы определить кубический корень из 2.
Важность математической строгости в греческой математике
Греки понимали то, что каким-то образом ускользало от египтян: важность математической строгости. Древние египтяне, например, приравнивали площадь круга к площади квадрата, стороны которого составляли 8/9 диаметра круга. С точки зрения этого расчета значение математической константы pi равно 256/81. Это очень точный расчет (погрешность около половины процента), но математически неверный. Однако для целей египетской инженерии эта полпроцентная ошибка на самом деле не имела значения, иначе их впечатляющие памятники давно бы рухнули. Однако игнорирование этой полпроцентной ошибки пренебрегает фундаментальным свойством истинного значения числа пи, которое заключается в том, что никакая дробь не может его выразить. Это также иррациональное число.
Египтяне также округляли другие числа, такие как значение квадратного корня из 2 (с дробью 7/5). Используя округленные значения, египтяне не заметили иррациональной природы этих чисел. Греки были одержимы математической строгостью; для них округление было недостаточно хорошим. Они признали точность математического языка.
Не отказываясь от стремления к математической точности, греки развили математические знания, которые, наряду с астрономией, являются, пожалуй, самым замечательным памятником их интеллектуальных достижений.
https://www.worldhistory.org/article/606/greek-mathematics/
Загрузка...
